Может ли работодатель отказать в увольнении по истечении 14 дней?

Алексей, если Ваш начальник отрицает факт передачи Вами через него заявления об увольнении, и отсутствуют свидетели (как минимум двое), которые видели содержание этого заявления и в случае судебного спора смогли бы подтвердить данный факт, Вам необходимо снова написать такое заявление и отнести (выслать заказным письмом с уведомлением о вручении) его в отдел кадров либо в приёмную руководителя филиала с проставлением на копии (Вашем втором экземпляре) даты и данных лица, принявшего его от Вас. Если бы Вы надлежащим образом представили своё заявление, работодатель обязан бы был расторгнуть с Вами трудовой договор по истечении 14 дней.

Хочется добавить, что двухнедельный срок, это срок предупреждения об увольнение а не срок для отработки. Исходя из этого вы можете снова написать заявление и уйти, например в отпуск за свой счёт или на больничный, а по истечении 14 дней вправе требовать расчёта и выдачи трудовой книжки.

согласно ст. 80 Трудового кодекса РФ, абз. 6. "Если по истечении срока предупреждения об увольнении трудовой договор не был расторгнут и работник не настаивает на увольнении, то действие трудового договора продолжается".

Вам необходимо настаивать на увольнении по собственному желанию, т.е. опять уведомить работодателя письменно о желании расторгнуть трудовой договор. Сделайте это заказным письмом с уведомлением о вручении.