Имеет ли право мать детей-инвалидов настаивать на их обучении в коррекционном саду?

Не имеют право отказать. Это их обязанность - обуспечить получение дошкольного образования.

Основание:

Федеральный закон от 24 ноября 1995 г. N 181-ФЗ "О социальной защите инвалидов в Российской Федерации" (с изменениями и дополнениями) > Глава IV. Обеспечение жизнедеятельности инвалидов

Статья 19. Образование инвалидов

Органы, осуществляющие управление в сфере образования, и образовательные организации совместно с органами социальной защиты населения и органами здравоохранения обеспечивают получение инвалидами общедоступного и бесплатного дошкольного, начального общего, основного общего, среднего общего образования и среднего профессионального образования, а также бесплатного высшего образования.

Если нет свободных мест, то учреждение МОЖЕТ ОТКАЗАТЬ, но городское управление образованием НЕ МОЖЕТ, оно должно устроить ребенка, согласно Приказу Минобрнауки России от 22.01.2014 N 32 «Об утверждении Порядка приема граждан на обучение по образовательным
программам начального общего, основного общего и среднего общего
образования»:

В связи со вступлением в силу нового закона об образовании утвержден
обновленный порядок приема граждан на обучение по программам начального, основного и среднего общего образования.
Определено, что в приеме в государственную или муниципальную
образовательную организацию может быть отказано только по причинеотсутствия в ней свободных мест. В таком случае родители или
законные представители ребенка для решения вопроса о его устройстве в
другую общеобразовательную организацию обращаются непосредственно в
региональный орган власти в области образования.

Обращайтесь в суд с требованием обязать управление образованием предоставить возможность получения дошкольного образования инвалидам детства.