Написал заявление на увольнение, а отдел кадров на больничном

Нет, не законно.  По основаниями ст. 80 Трудового кодекса РФ работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

Для того чтобы работодатель был предупрежден о Вашем увольнении, Вам необходимо зарегистрировать Ваше заявление в канцелярии либо отделе кадров. Если такой возможности нет (например, отказ руководителя о принятии от Вас заявления, отсутствие работников отдела кадров либо канцелярии по уважительной причине, как нахождение на больничном листе в Вашем случае), Вам необходимо отправить Ваше заявление на адрес организации,  в которой Вы планируете больше не работать, почтовым отправлением заказным письмом с описью и уведомлением. Днем подачи работодателю заявления об увольнении будет считаться день (дата штампа на конверте) отправленного письма.

В последний день работы работодатель обязан выдать Вам трудовую книжку, другие документы, связанные с работой (например, копию приказа о расторжении трудового договора), по письменному заявлению работника и произвести с Вами окончательный расчет.

Добрый день, это не законно, с момента вручения вами заявления работодателю пошол срок отработки. Через две недели (а если вы на испытательном сроке, то можете увольняться и через 3 дня) работодатель обязан выдать вам трудовую книжку и произвести расчет.