как взыскать алименты на себя и ребёнка

Из существа поставленных Вами вопросов не совсем понятно, хотите ли Вы написать заявление в суд или уже заявление находится в суде? Если заявление уже в суде, то доказать факт проживания ребенка с Вами можно показаниями свидетелей.

В вашем случае должна быть не справка о проживании (т.к., например, вы с ребенком живете на съемной квартире, то регистрации может не быть), а о том, кто фактически осуществляет уход за ребенком. По-хорошему суду все равно, где живет ребенок. Нередки случаи взыскания алиментов на ребенка и маму даже в том случае, когда мама, ребенок и папа живут под одной крышей. Если суд желает влезть в такие дебри, то вам помогут только свидетели. Опять же... у кого документы на ребенка: карточка из больницы, свидетельство о рождении. На каком режиме кормления ребенок (искусственное или грудное, что, кстати, также отражается в мед карте). Что говорит папа по данному поводу?

Обычно бывает достаточно акта о проживании, подписанного соседями, чьи подписи нужно заверить у старшей по подъезду или паспортиста, в котором отразить, что с такого-то времени вы постоянно проживаете в данном жилом помещении вместе со своим ребенком, данные которого указать, вещи ребенка находятся в квартире. Одновременно можно взять у соседей по месту прописки ребенка акт о НЕпроживании, в котором, соответственно, указать, что в такой-то квартире проживает такой-то гражданин (перечислить всех, кто проживает фактически), другие лица не проживают, вещей их в квартире нет.