может ли государство помочь с выкупом части квартиры?

К сожалению, законодательством не предусмотрена правовая возможность помочь Вам в выкупе доли в праве на наследство отца. Однако, что касается решения Вашей жилищной проблемы, вы можете попробовать встать на учет как семья, нуждающаяся в улучшении жилищных условий в органе, осуществляющий постановку на учет граждан данной категории в вашем регионе. Так же Вам следует сделать заявление о том, что вы с ребенком являетесь отдельной семьей в этом же органе. Это позволит Вам в будущем претендовать на улучшение жилищных условий, что не исключает получение субсидий и иных форм материальной помощи от государства