Написала заявление на увольнение, но директор не подписывает без отработки, а мне не с кем оставить ребенка

Здравствуйте. Как указано в ст.80 Трудового кодекса РФ, в случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.
К сожалению, Ваш случай не относится к обстоятельствам, дающим Вам право уволиться без "отработки", даже несмотря на то, что Вы являетесь одинокой матерью.

Единственный, на мой взгляд, выход в данной ситуации - это выйти на больничный с ребёнком и написать заявление об увольнении по собственному желанию.